Notes de cursos i seminaris

Durant els meus estudis he escrit diverses notes de matemàtiques amb LaTeX\LaTeX per a ús propi. Tot i això, a vegades me les han demanades altres persones. Aquí a sota les comparteixo per a qui pugui interessar-s’hi. Si hi trobeu errors, feu-m’ho saber si us plau.

Cursos

La tardor de 2019, després d’anys rumiant-hi sense atrevir-me a fer el pas, vaig provar de prendre notes de classe directament amb LaTeX\LaTeX mentre el professor escrivia a la pissarra i amb ben poca edició fora de classe. L’experiment va ser prou reeixit i l’any següent hi vaig tornar, malgrat la dificultat afegida de les classes en línia.

A continuació llisto els cursos dels quals tinc notes escrites amb l’ordinador. Totes són en anglès perquè els cursos eren a Montreal. Malauradament, les notes dels cursos que he seguit anteriorment són totes manuscrites. D’altra banda, l’Adrian Iovita em va demanar explícitament que les notes dels seus cursos no anessin a parar a cap lloc web. Si hi esteu interessats per a ús personal, escriviu-me un correu electrònic prometent que no les compartireu enlloc ni amb ningú més i us les facilitaré.

Aixecament de la modularitat
Professor(s)
Patrick Allen
Semestre
Tardor de 2020
Notes disponibles
Aquí
Comentaris
Introducció al mètode de Taylor–Wiles, principalment per a GL2(Q)\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}). La primera meitat fou teoria de deformació. La segona meitat se centrà en l’argument d’enganxament. Al final s’esmentaren alguns resultats per a GL2(F)\mathrm{GL}_2(F) on FF és un cos totalment real o de multiplicació complexa.
Multiplicació complexa
Professor(s)
Henri Darmon
Semestre
Tardor de 2020
Notes disponibles
Aquí
Comentaris
El primer terç fou la teoria clàssica de multiplicació complexa. El segon terç tractà generalitzacions per a corbes de Shimura fent servir mètodes p–àdics. L’última part fou una introducció a la teoria de multiplicació real, una feina en curs de l’Henri i col·laboradors.
Representacions de Galois
Professor(s)
Adrian Iovita i Giovanni Rosso
Semestre
Tardor de 2020
Notes disponibles
En privat
Comentaris
Curs de representacions de Galois p–àdiques. El primer quart tractà les representacions globals. El segon quart tractà les representacions locals fora de p. L’última meitat fou una introducció a la teoria de Hodge p–àdica. Vaig plegar a mitges.
Cohomologia de feixos
Professor(s)
Adrian Iovita
Semestre
Tardor de 2019
Notes disponibles
En privat
Comentaris
La primera meitat fou la teoria estàndard de cohomologia de feixos. La segona meitat fou una introducció a la recent teoria de matemàtiques condensades de Clausen–Scholze. El pla original era massa ambiciós i finalment el curs fou una versió estesa de les primeres lliçons de Scholze sobre el tema però amb més detalls dels coneixements de base. Vaig ometre de les notes part del repàs de classe.

Seminaris

També he escrit amb l’ordinador notes de la major part de presentacions que he fet en seminaris. Es tracta de resums de temes diversos de teoria de nombres, normalment centrats en les idees principals més que en els detalls tècnics. Tots els documents tret d’un són escrits en anglès perquè els seminaris eren a l’estranger.

Cohomologia de de Rham algebraica i la connexió de Gauss–Manin

Definició de la cohomologia de de Rham algebraica, càlculs fent servir cohomologia de Čech i successions espectrals i definició de la connexió de Gauss–Manin.

Notes (en anglès) d’una presentació en un seminari sobre la demostració de Lawrence–Venkatesh de la conjectura de Mordell a la Universitat de Mont-real.

Formes modulars mòdul p i formes modulars p–àdiques

Recordatori de les teories de formes modulars mòdul un nombre primer p fixat, de formes modulars p–àdiques a la Serre i d’operadors compactes sobre un espai de Banach p–àdic.

Notes (en anglès) d’una presentació introductòria en un seminari sobre la teoria de Coleman a la Universitat de Mont-real.

Representacions d’àlgebres de Lie semisimples

Recordatori de la teoria clàssica de representacions d’àlgebres de Lie complexes semisimples i estudi de sl2\mathfrak{sl}_2 com a exemple bàsic.

Notes (en anglès) d’una presentació en un seminari sobre el complex de Bernstein–Gelfand–Gelfand a la Universitat de Mont-real.

Punts racionals de mida fitada en la base d’una família abeliana-sobre-finita

Explicació del nucli tècnic de la nova prova de Lawrence–Venkatesh de la conjectura de Mordell, que és la finitesa del conjunt de punts racionals de mida fitada en la base d’una família abeliana-sobre-finita amb certes propietats.

Notes (en anglès) d’una presentació en un seminari sobre la demostració de Lawrence–Venkatesh de la conjectura de Mordell a la Universitat McGill de Mont-real.

Formes modulars mòdul p

Estructura de l’àlgebra de formes modulars (de nivell 1) mòdul un nombre primer p fixat en termes dels seus desenvolupaments de Fourier.

Notes (en anglès) d’una presentació en un seminari d’estudiants de matemàtiques a la Universitat Concordia de Mont-real.

Classes de morfismes localitzadores

Definició de classes de morfismes localitzadores i construcció de la localització d’una categoria respecte d’una tal classe mitjançant diagrames teulat.

Notes (en anglès) d’una presentació en un seminari sobre categories derivades a la Universitat Concordia de Mont-real.

Formes modulars i símbols modulars (clàssics)

Introducció per a matemàtics no especialistes de la teoria (clàssica) de formes modulars, operadors de Hecke i símbols modulars en un cas simple.

Notes (en anglès) d’una presentació en un seminari d’estudiants de matemàtiques a la Universitat Concordia de Mont-real.

Integritat de l’invariant j de corbes el·líptiques amb multiplicació complexa

Demostració que l’invariant j d’una corba el·líptica amb multiplicació complexa és íntegre estudiant-ne la \ell–torsió a dins d’una uniformització p–àdica.

Diapositives (en anglès) d’una presentació en un curs de corbes el·líptiques amb multiplicació complexa a la Universitat McGill de Mont-real.

Símbols modulars clàssics i sobreconvergents i funcions L p–àdiques associades a formes pròpies

Introducció a la teoria de símbols modulars clàssics i sobreconvergents, teorema de control i aplicació a la construcció de funcions L p–àdiques associades a formes pròpies.

Notes (en anglès) d’una presentació en un seminari sobre la prova de Greenberg–Stevens de la conjectura de Mazur–Tate–Teitelbaum a la Universitat McGill de Mont-real.

Morfismes étales

Definicions equivalents de morfisme étale, propietats bàsiques d’aquests morfismes i les seves seccions, repàs d’anells henselians i primers resultats sobre recobriments étales finits de Galois.

Notes (en anglès) de dues presentacions en un seminari sobre la correspondència de Katz a la Universitat de Pàdua.

La fórmula del nombre de classes i el teorema del nombre primer de Dirichlet

Conclusió de la prova de la fórmula del nombre de classes (partint de les propietats de la funció zeta de Dedekind completada) i demostració de l’equidistribució (respecte de la densitat de Dirichlet) dels nombres primers en classes de congruència.

Notes (en anglès) d’una presentació en un seminari de teoria de nombres analítica a la Universitat de Ratisbona.

El teorema del cub

Demostració del teorema del cub per a fibrats de línia sobre varietats completes i conseqüències d’aquest resultat, entre les quals el teorema del quadrat per a varietats abelianes.

Notes (en anglès) d’una presentació en un seminari sobre varietats abelianes a la Universitat de Ratisbona.

Varietats abelianes: definició i primeres propietats

Definició de varietat abeliana com a varietat-grup (çò és, com a objecte grup de la categoria de varietats algebraiques sobre un cos) i propietats bàsiques que satisfan aquestes varietats i els seus morfismes.

Notes (en anglès) d’una presentació en un seminari sobre varietats abelianes a la Universitat de Ratisbona.

Residus i dualitat

Demostració de la fórmula per a la suma de residus en un cos de funcions en la versió de Tate i explicació de la dualitat entre formes diferencials i diferencials de Weil en un cos de funcions geomètric.

Notes (en anglès) d’una presentació en un seminari sobre cossos de funcions algebraiques a la Universitat de Ratisbona.

El grup de Brauer

Demostració que el producte tensorial indueix una estructura de grup abelià al grup de Brauer d’un cos i explicació del comportament d’aquest grup respecte de canvis de base.

Notes (en anglès) de dues presentacions en un seminari sobre àlgebres simples centrals a la Universitat de Ratisbona.

Formes i símbols modulars clàssics

Recordatori de la teoria clàssica de formes modulars i introducció als símbols modulars clàssics com a eina teòrica per a descriure l’espai de formes parabòliques S2(Γ0(N))S_2(\Gamma_0(N)).

Notes de dues presentacions introductòries en un seminari sobre símbols modulars sobreconvergents a la Universitat de Barcelona.