Recerca

Aquestes notes expliquen la construcció d’una aplicació anomenada regulador p–àdic que va d’un grup de cohomologia d’Iwasawa respecte d’una torre d’extensions de Lubin–Tate relatives a un espai de distribucions i també resultats en la direcció d’una fórmula d’interpolació.

L’estudi de representacions p–àdiques del grup de Galois d’extensions sobre $\mathbb{Q}_p$ és complicat perquè n’hi ha moltes. Una de les idees clau de la teoria de Hodge p–àdica és traslladar la dificultat dels mòduls als anells base: classes d’aitals representacions amb bones propietats es poden inserir en categories de l’àmbit de l’àlgebra (semi)lineal sobre els anomenats anells de períodes. Les definicions d’aquests anells base es fonamenten en la teoria de cossos de normes per a una extensió totalment ramificada amb certes restriccions. El cas més simple i ben estudiat és el de l’extensió ciclotòmica, però també és possible desenvolupar una teoria anàloga per a extensions de Lubin–Tate relatives.

En aquest context més general, els resultats de M. Kisin i W. Ren (basats al seu torn en resultats fonamentals de J.-M. Fontaine) proporcionen equivalències entre categories de representacions (cristal·lines) i de $(\varphi,\Gamma)$–mòduls (analítics) sobre anells de períodes. Així mateix, la teoria de varietats de caràcters introduïda per P. Schneider i J. Teitelbaum permet relacionar distribucions localment analítiques amb elements d’anells de períodes. Amb aquests ingredients i diverses nocions de dualitat, P. Schneider i O. Venjakob trobaren la manera de construir distribucions a partir de classes de cohomologia d’Iwasawa. Hom pot establir una fórmula d’interpolació per al regulador així definit comparant-lo amb el logaritme gros definit per L. Berger i L. Fourquaux, que és una aplicació en sentit contrari.

El pas d’extensions de Lubin–Tate clàssiques a extensions de Lubin–Tate relatives (tal com les definí E. de Shalit), que és la contribució principal d’aquestes notes, és essencialment de naturalesa tècnica. És a dir, les demostracions esdevenen més intricades però les idees centrals romanen essencialment inalterades.

@unpublished{gispert2022iwasawa,
    author={Gispert, Francesc},
    title={Iwasawa theory and \(p\)--adic Hodge theory for relative Lubin--Tate extensions},
    date={2022-01-31},
    pagetotal={188},
    note={Unfinished personal notes},
    url={https://fgispert.cat/recerca.html}
}

Aquestes notes presenten la construcció geomètrica de F. Andreatta i A. Iovita de famílies p–àdiques de feixos de formes modulars sobreconvergents i també dels operadors habituals que hi actuen.

Hom topa amb dos obstacles importants a l’hora de generalitzar al cas de formes modulars de pendent finit certes construccions de funcions L p–àdiques associades a formes modulars ordinàries:

1. No hi ha cap anàleg del projector ordinari de Hida perquè l’operador U de formes modulars p–àdiques no és compacte. Cal, doncs, interpretar les formes modulars de pendent finit com a seccions sobreconvergents de certs feixos modulars.
2. No és ni de bon tros evident què haurien de ser els anàlegs de les iteracions p–àdiques de l’operador de Maass–Shimura. D’entrada, l’escissió del subespai de pendent nul de la cohomologia de de Rham només és possible sobre el lloc ordinari. I encara més, cal controlar la reducció de la sobreconvergència que ve de les iteracions p–àdiques.

Els fibrats vectorials formals amb seccions marcades són una modificació dels fibrats vectorials habituals afegint-hi condicions de congruència. La construcció d’aquests fibrats és functorial i preserva estructures addicionals com ara filtracions i connexions. El resultat d’aplicar-la a certs feixos modulars i de de Rham són uns feixos de seccions enormes que contenen totes les interpolacions p–àdiques de formes modulars i de la cohomologia de de Rham, respectivament.

La naturalesa geomètrica de les construccions permet definir operadors de Hecke i torciments per caràcters amb les propietats desitjades. A més a més, hom pot fer càlculs locals per tal de controlar les potències de p que apareixen per les iteracions de la connexió de Gauss–Manin.

@unpublished{gispert2020lfunctions,
    author={Gispert, Francesc},
    title={Andreatta--Iovita's \(p\)--adic \(L\)--functions},
    date={2020-03-13},
    pagetotal={49},
    note={Unfinished seminar notes},
    url={https://fgispert.cat/recerca.html}
}

Aquesta tesi presenta la teoria geomètrica de formes modulars en característica positiva p, deguda principalment a N. Katz.

Sota certes hipòtesis, existeixen corbes modulars que parametritzen corbes el·líptiques dotades d’estructures de nivell aritmèticament interessants. Katz definí les formes modulars com a seccions globals d’una família de fibrats de línia sobre aquestes corbes modulars. Les eines de la geometria algebraica moderna permeten que les construccions de les corbes i els fibrats de línia esmentats funcionin sobre pràcticament qualsevol anell base.

A més a més, les corbes modulars tenen una classe destacada de punts anomenats puntes. Les puntes parametritzen una mena de corbes el·líptiques degenerades conegudes com a corbes de Tate. Els gèrmens d’una forma modular en les puntes corresponen a sèries de potències en una variable anomenades desenvolupaments en q de la forma modular. Sovint els desenvolupaments en q contenen molta informació de la forma.

En particular, sobre un cos algebraicament tancat de característica p, l’àlgebra de formes modulars admet una descripció ben simple en termes d’una forma modular coneguda com l’invariant de Hasse. Més concretament, les formes modulars són determinades llevat de potències de l’invariant de Hasse pels seus desenvolupaments en q. Addicionalment, hi ha un operador diferencial que actua sobre l’àlgebra de formes modulars i que ens permet entendre’n millor l’estructura.

@thesis{gispert2018modformsmodp,
    author={Gispert, Francesc},
    title={Modular forms modulo \(p\)},
    date={2018-07-16},
    institution={Universität Regensburg and Università degli Studi di Padova},
    type={mathesis},
    pagetotal={99}
}

Aquest treball presenta les teories clàssiques de formes modulars i símbols modulars i explica la relació entre teoria i càlcul amb símbols modulars.

Les formes modulars són funcions holomorfes definides al semiplà superior del pla complex i que es transformen de certa manera sota l’acció d’un grup de matrius. L’espai de les òrbites d’aquesta acció sobre el semiplà superior admet una estructura de superfície de Riemann i s’anomena corba modular. Aleshores, les formes modulars formen espais vectorials complexos de dimensió finita que es poden identificar amb certs espais de formes diferencials en la corba modular corresponent.

Hi ha una família molt important d’operadors que actuen sobre l’espai de formes modulars: els operadors de Hecke. Resulta que hi ha bases de formes modulars que són vectors propis de la majoria d’aquests operadors; aquestes formes modulars són les anomenades formes pròpies.

Finalment, els símbols modulars es poden veure com a símbols formals que satisfan unes determinades relacions algebraiques i que proporcionen una manera senzilla de representar els elements del primer grup d’homologia de la corba modular (considerada com a superfície compacta). L’aparellament donat per la integració d’una forma diferencial al llarg d’una corba estableix una dualitat entre les formes modulars i els símbols modulars. Així, els operadors de Hecke també actuen sobre l’espai de símbols modulars i, per tant, es pot recuperar informació sobre les formes modulars a partir de l’acció dels operadors de Hecke sobre els símbols modulars. En conclusió, els símbols modulars constitueixen un àmbit adequat per als càlculs amb formes modulars i operadors de Hecke.

@thesis{gispert2016modsymbols,
    author={Gispert, Francesc},
    title={Modular symbols},
    date={2016-04-24},
    institution={Universitat Politècnica de Catalunya},
    type={bathesis},
    pagetotal={123}
}

Aquest document és un report d’una anàlisi experimental de l’efecte de diverses tècniques de partició de grafs, aplicades a grafs de dependència de dades, en la transmissió de dades en l’execució d’aplicacions paral·leles.

Les aplicacions en computació d’altes prestacions han d’adaptar-se amb cura a l’arquitectura subjacent. Per exemple, les diverses tasques en què es divideix una aplicació poden ser assignades als processadors seguint estratègies diferents. La manera de fer aquesta assignació té un impacte enorme en la distribució de la càrrega als nuclis i en la comunicació entre ells.

Una aplicació paral·lela es pot representar a través d’un graf de dependència de dades: un graf dirigit amb pesos que té per nodes les tasques i per arcs les dependències de dades. Presento unes quantes tècniques de partició de grafs que es poden aplicar als grafs de dependència de dades d’aplicacions paral·leles per a obtenir particions amb poc pes als arcs entre parts diferents.

Analitzí i comparí resultats experimentals en grafs generats per una aplicació concreta, l’algorisme de k–mitjanes implementat en OmpSs, per a demostrar com aquest preprocés de partició pot tenir un efecte significatiu en el rendiment gràcies a la reducció del volum de dades desplaçades. En particular, l’algorisme METIS produí particions gairebé òptimes, com hom pot observar de l’estructura tan simple del codi estudiat.

@report{gispert2014partitioning,
    author={Gispert, Francesc},
    title={An analysis of the data dependency graphs of \(k\)--means},
    date={2014-09-09},
    type={Internship report},
    institution={Barcelona Supercomputing Center},
    pagetotal={16},
    note={Internal unpublished document}
}